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A.1 Invariantes Centrales

En cada escala, el marco FRC descansa en dos ecuaciones:

Reciprocidad Entropía-Coherencia: $dS + k_\,d\ln C = 0$

Fórmula de Resonancia Adaptativa: $\Delta S = R\Psi C$

La ecuación (1) expresa la conservación del potencial total de transformación. La ecuación (2) describe el cambio instantáneo de entropía como función de la receptividad, el potencial y la coherencia.
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A.2 De la reciprocidad a la ley dinámica
Comience desde $dS = -k_\,d\ln C$. Diferencie con respecto al tiempo:*

$$ \dot S = -k_\,\frac{\dot C}{C} $$

Divida la tasa total de entropía en componentes internos y externos:

$$ \dot S = \dot S_{int} + \dot S_{ext} $$

Defina $F = -\dot S_{ext}$ (flujo de entropía hacia el sistema) y $S_C = \dot S_{int}$ (entropía exportada). Entonces,

$$ \dot C = \frac{\alpha}{k_}(F - S_C) $$

Absorbiendo constantes en $\alpha$ produce la ecuación de la bomba de coherencia:
$$ \boxed{\dot C = \alpha(F - S_C)} $$

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A.3 Derivación de nivel acoplado
Para dominios $\mu$ adyacentes, el término de intercambio de coherencia $T_{\mu,\mu+1}$ surge del acoplamiento de gradiente en el potencial de campo $V(\phi)$:
$$ T_{\mu,\mu+1} = -\frac{\partial V}{\partial \phi_{\mu}} \approx T_0 e^{-|\mu-\mu+1|/\lambda} e^{i\phi_{\mu\mu+1}} $$
El sistema general de N niveles se convierte en:
$$ \frac{dC_{\mu}}{dt} = \alpha_{\mu}(F_{\mu} - S_{C,\mu}) + \sum_{j\ne \mu} T_{\mu,j}(C_{j} - C_{\mu}) $$
La integración sobre todos los $\mu$ produce el invariante global:

$$ \sum_{\mu} (dS_{\mu} + k_^{(\mu)}\,d\ln C_{\mu}) = 0 $$

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A.4 Derivando ARF de la reciprocidad local

Sea $J_C = \dot C/C$ y defina receptividad $R = \partial J_C/\partial \Psi$.

*Entonces la tasa de entropía interna $\dot S_{int} = -k_R\Psi$.

Integrando sobre un ciclo de resonancia:
$$ \Delta S = R\Psi C $$
Esto define la Fórmula de Resonancia Adaptativa (ARF) utilizada a lo largo del texto.
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A.5 Criterio de estabilidad

Linealizando $\dot C = \alpha(F - S_C)$ alrededor del equilibrio $C=C_0$:
$$ \dot C = -\alpha\beta(C - C_0) $$
con $\beta = \partial S_C/\partial C$. Solución: $C(t)=C_0 + (C_i - C_0)e^{-\alpha\beta t}$. La estabilidad exige $\alpha\beta > 0$. Dado que $\beta > 0$ (la entropía aumenta con el orden), los regímenes estables tienen $\alpha > 0$ pequeño o $\alpha \approx 0$ — la zona de flujo.
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A.6 Solución de retroalimentación oscilatoria

Cuando $\alpha$ varía con la coherencia,
$$ \dot \alpha = \gamma(C - C_{opt}) $$
obtenemos:
$$ \ddot C + \beta\gamma C = \beta\gamma C_{opt} + \alpha_0\beta(F - S_0) $$
un oscilador armónico amortiguado con frecuencia natural $\omega_0 = \sqrt{\beta\gamma}$. Período de oscilación:
$$ T = 2\pi/\sqrt{\beta\gamma} $$

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A.7 La constante de resonancia k_

Unidades: S (entropía): J·K⁻¹ ln C: adimensional Así, k_ tiene unidades J·K⁻¹, análogo a la constante de Boltzmann. Los diferentes niveles-$\mu$ tienen constantes escaladas:*

$$ k_^{(\mu)} = \kappa\,\lambda_{\mu}^d\,k_B $$

donde $\lambda_\mu$ es la escala de correlación, d la dimensión efectiva, $\kappa$ un factor de normalización.

*La medición empírica de k_ por dominio define el "espectro fractal" de la coherencia.

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A.8 La interpretación de la energía

Multiplique (1) por la temperatura T:*

$$ TdS + Tk_\,d\ln C = 0 $$

*Entonces $TdS = -dE_{coh}$, identificando $E_{coh}=Tk_\ln C$ como energía de coherencia almacenada.

Así, la ley de reciprocidad es una conservación de energía entre calor e información estructurada.
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A.9 La formulación del espacio de fase

Defina coordenadas generalizadas $x_i$ y momentos conjugados $p_i$. Entropía $S(x,p)$, coherencia $C(x,p)$. Forma Hamiltoniana:
$$ \frac{dC}{dt} = \frac{\partial H}{\partial S}, \qquad \frac{dS}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial C} $$
Eligiendo $H = k_S\ln C$ reproduce $dS + k_\,d\ln C = 0$. Por lo tanto, la ley de reciprocidad es el generador Hamiltoniano de la dinámica FRC.
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A.10 Resumen

Símbolo	Significado	Ecuación
S	entropía	medida de desorden
C	coherencia	medida de correlación
α	ganancia adaptativa	capacidad de respuesta del sistema
R, Ψ	receptividad y potencial	parámetros ARF
k_	constante de coherencia	factor de escala que vincula energía e información

Símbolo Significado Ecuación
S entropía medida de desorden
C coherencia medida de correlación
α ganancia adaptativa capacidad de respuesta del sistema
R, Ψ receptividad y potencial parámetros ARF
k_ constante de coherencia factor de escala que vincula energía e información
Juntos forman un álgebra cerrada bajo el grupo de transformación que preserva $\Sigma = S + k_ \ln C$.**

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