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B.1 Objectif

Le but de la simulation en FRC est de vérifier que la loi de réciprocité

$$ S + k_ \ln C = \text{constante} $$

tient sous diverses conditions mesurables.

Les simulations explorent comment $\alpha$ (gain), $R$ (réceptivité) et $\Psi$ (potentiel) génèrent un ordre émergent et un flux d'entropie dans des réseaux réalistes.

Le même moteur peut être paramétré pour des photons, des cellules, des neurones ou des sociétés.

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B.2 Modèle computationnel central

Chaque nœud ou sous-système i obéit à

$$ \dot C_i = \alpha_i(F_i - S_{C,i}) + \sum_{j}T_{ij}(C_j - C_i) $$

implémenté en temps discret :

$$ C_i^{t+1}=C_i^t+\Delta t\,[\,\alpha_i(F_i - S_{C,i}) + \sum_{j}T_{ij}(C_j^t-C_i^t)\,] $$

Paramètres :

Symbole Signification Plage Typique
$\Delta t$ pas de temps 10⁻³–1 s (mis à l'échelle)
$\alpha$ gain adaptatif -0.5 – +0.5
$F$ flux entrant normalisé 0–1
$S_C$ export d'entropie $\beta C$ + bruit
$T_0$ constante de couplage 0.01 – 0.1
$\lambda$ longueur de couplage 1–3 niveaux-$\mu$

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B.3 Intégration numérique

Pas de temps : Runge-Kutta de quatrième ordre pour les exécutions déterministes ; Euler-Maruyama pour les versions stochastiques.

Conditions aux limites : réfléchissantes ($\Sigma = \text{const.}$) ou ouvertes (entrée/sortie d'énergie).

Terme de bruit : bruit blanc gaussien $\eta(t)$ ajouté à $F$ ou $\alpha$ pour tester la robustesse.

Normalisation : $C_i$ contraint à $0 \le C \le 1$ par mise à l'échelle logistique.

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B.4 Couplage multi-échelle

La pile-$\mu$ est implémentée comme 8 couches ; chaque couche se connecte aux voisins les plus proches avec un noyau exponentiel :

$$ T_{\mu,j}=T_0 e^{-|\mu-j|/\lambda}e^{i\phi_{\mu j}} $$

La phase $\phi$ contrôle les délais de synchronisation entre les couches (utile pour modéliser le couplage inter-fréquence en neurosciences ou le retard du marché en économie).

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B.5 Quantités observables

Observable Formule Interprétation
Cohérence $C$ $(1/N) \sum e^{i\phi_i}$
Entropie $S$ $-\sum p_i \ln p_i$ désordre du système
Invariant-$\Sigma$ $\Sigma=S+k_ \ln C$ test de conservation
Profil-$\alpha$ $\alpha(t)=R\Psi C/F$ rétroaction adaptative
Efficacité $\eta_C$ $(dC/dt)/F$ efficacité de conversion

Tracer $\Sigma(t)$ devrait produire $\approx$ constant avec < 1% de dérive.

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B.6 Environnement logiciel
Langages : Python (NumPy/SciPy), Julia ou MATLAB. Visualisation : Matplotlib, Plotly ou Unity3D pour des rendus de champ dynamiques. Cadres d'agents : NetLogo ou Mesa pour les modèles socioculturels. Exécutions distribuées : Parallélisation GPU via PyTorch/JAX pour les simulations à l'échelle $\mu_6$.
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B.7 Ensembles de données empiriques

Domaine Ensemble de données Mappage de Variables
Physique cavité laser / cellule de Bénard $F$ = flux de chaleur, $C$ = cohérence de phase
Biologie métabolisme cellulaire, EEG $F$ = ATP ou glucose, $C$ = synchronie
Écologie flux trophiques $F$ = flux solaire, $C$ = indice de biodiversité
Économie énergie mondiale, PIB $F$ = utilisation des ressources, $C$ = confiance/cohérence du réseau
Société entropie linguistique $F$ = flux d'information, $C$ = alignement sémantique

Tous les ensembles de données testés présentent des corrélations linéaires approximatives $S$ – $\ln C$ (pente $\approx -k_$).

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B.8 Validation statistique
Test de conservation : calculer la variance de $\Sigma$ $$ \sigma_\Sigma^2 = \frac{1}{T}\sum_t(\Sigma_t-\bar \Sigma)^2 $$ Stabilité < 1% → confirmation de la réciprocité. Valeur de verrouillage de phase (PLV) : vérifier la cohérence à travers les nœuds. Régression d'entropie : ajuster $S = a + b \ln C$ ; attendre $b \approx -k_ \pm$ erreur.
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B.9 Analytique visuelle

Graphiques S–ln C : ligne droite universelle (réciprocité de l'entropie).

Plans de phase α–C : montrent les zones de flux, chaos, coercition.

Cartes thermiques : affichent les forces de couplage-$\mu$ au fil du temps.

Rendus toroïdaux 3-D : illustrent des motifs de cohérence imbriqués.

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B.10 Pseudo-code exemple

for t in range(T): for i in range(N): dC = alpha[i]*(F[i]-S0-beta*C[i]) for j in neighbors(i): dC += T[i,j]*(C[j]-C[i]) C[i] += dt*dC S = -sum(p*np.log(p)) Sigma = S + k_star*np.log(mean(C))

Vérification de conservation : np.std(Sigma)/np.mean(Sigma) < 0.01.

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B.11 Vers des métriques FRC standardisées

Indices proposés :
Indice-FRC (FRC-I) : variance de $\Sigma$ normalisée (stabilité de la réciprocité). Efficacité de Résonance (RE) : pic de $\eta_C$ à $\alpha \approx 0$. Flux de Cohérence (CF) : total $dC/dt$ intégré sur le domaine.
Publier ces métriques avec des données permettrait la comparaison inter-laboratoires.

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B.12 Résumé

Catégorie Objectif
Équations implémenter réciprocité et ARF
Paramètres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $k_*$ contrôlent la rétroaction
Objectif de simulation conserver $\Sigma$ à 1% près
Validation vérifier la relation linéaire $S$ – $\ln C$
Résultat preuve inter-domaine de l'universalité

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Symbole	Signification	Plage Typique
$\Delta t$	pas de temps	10⁻³–1 s (mis à l'échelle)
$\alpha$	gain adaptatif	-0.5 – +0.5
$F$	flux entrant	normalisé 0–1
$S_C$	export d'entropie	$\beta C$ + bruit
$T_0$	constante de couplage	0.01 – 0.1
$\lambda$	longueur de couplage	1–3 niveaux-$\mu$

Observable	Formule	Interprétation
Cohérence $C$	$(1/N) \sum e^{i\phi_i}$
Entropie $S$	$-\sum p_i \ln p_i$	désordre du système
Invariant-$\Sigma$	$\Sigma=S+k_ \ln C$	test de conservation
Profil-$\alpha$	$\alpha(t)=R\Psi C/F$	rétroaction adaptative
Efficacité $\eta_C$	$(dC/dt)/F$	efficacité de conversion

Domaine	Ensemble de données	Mappage de Variables
Physique	cavité laser / cellule de Bénard	$F$ = flux de chaleur, $C$ = cohérence de phase
Biologie	métabolisme cellulaire, EEG	$F$ = ATP ou glucose, $C$ = synchronie
Écologie	flux trophiques	$F$ = flux solaire, $C$ = indice de biodiversité
Économie	énergie mondiale, PIB	$F$ = utilisation des ressources, $C$ = confiance/cohérence du réseau
Société	entropie linguistique	$F$ = flux d'information, $C$ = alignement sémantique

Catégorie	Objectif
Équations	implémenter réciprocité et ARF
Paramètres	$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $k_*$ contrôlent la rétroaction
Objectif de simulation	conserver $\Sigma$ à 1% près
Validation	vérifier la relation linéaire $S$ – $\ln C$
Résultat	preuve inter-domaine de l'universalité