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A.1 Invariants Centraux

À chaque échelle, le cadre FRC repose sur deux équations :

Réciprocité Entropie-Cohérence : $dS + k_\,d\ln C = 0$

Formule de Résonance Adaptative : $\Delta S = R\Psi C$

L'équation (1) exprime la conservation du potentiel total de transformation. L'équation (2) décrit le changement instantané d'entropie en fonction de la réceptivité, du potentiel et de la cohérence.
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A.2 De la réciprocité à la loi dynamique
Partez de $dS = -k_\,d\ln C$. Différenciez par rapport au temps :*

$$ \dot S = -k_\,\frac{\dot C}{C} $$

Divisez le taux total d'entropie en composantes internes et externes :

$$ \dot S = \dot S_{int} + \dot S_{ext} $$

Définissez $F = -\dot S_{ext}$ (flux d'entropie dans le système) et $S_C = \dot S_{int}$ (entropie exportée). Alors,

$$ \dot C = \frac{\alpha}{k_}(F - S_C) $$

Absorber les constantes dans $\alpha$ donne l'équation de la pompe de cohérence :
$$ \boxed{\dot C = \alpha(F - S_C)} $$

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A.3 Dérivation de niveau couplé
Pour les domaines $\mu$ adjacents, le terme d'échange de cohérence $T_{\mu,\mu+1}$ découle du couplage de gradient dans le potentiel de champ $V(\phi)$ :
$$ T_{\mu,\mu+1} = -\frac{\partial V}{\partial \phi_{\mu}} \approx T_0 e^{-|\mu-\mu+1|/\lambda} e^{i\phi_{\mu\mu+1}} $$
Le système général à N niveaux devient :
$$ \frac{dC_{\mu}}{dt} = \alpha_{\mu}(F_{\mu} - S_{C,\mu}) + \sum_{j\ne \mu} T_{\mu,j}(C_{j} - C_{\mu}) $$
L'intégration sur tous les $\mu$ donne l'invariant global :

$$ \sum_{\mu} (dS_{\mu} + k_^{(\mu)}\,d\ln C_{\mu}) = 0 $$

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A.4 Dérivation de l'ARF à partir de la réciprocité locale

Soit $J_C = \dot C/C$ et définissez la réceptivité $R = \partial J_C/\partial \Psi$.

*Alors le taux d'entropie interne $\dot S_{int} = -k_R\Psi$.

Intégration sur un cycle de résonance :
$$ \Delta S = R\Psi C $$
Ceci définit la Formule de Résonance Adaptative (ARF) utilisée tout au long du texte.
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A.5 Critère de stabilité

Linéarisation de $\dot C = \alpha(F - S_C)$ autour de l'équilibre $C=C_0$ :
$$ \dot C = -\alpha\beta(C - C_0) $$
avec $\beta = \partial S_C/\partial C$. Solution : $C(t)=C_0 + (C_i - C_0)e^{-\alpha\beta t}$. La stabilité exige $\alpha\beta > 0$. Puisque $\beta > 0$ (l'entropie augmente avec l'ordre), les régimes stables ont $\alpha > 0$ petit ou $\alpha \approx 0$ — la zone de flux.
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A.6 Solution de rétroaction oscillatoire

Lorsque $\alpha$ varie avec la cohérence,
$$ \dot \alpha = \gamma(C - C_{opt}) $$
nous obtenons :
$$ \ddot C + \beta\gamma C = \beta\gamma C_{opt} + \alpha_0\beta(F - S_0) $$
un oscillateur harmonique amorti avec fréquence naturelle $\omega_0 = \sqrt{\beta\gamma}$. Période d'oscillation :
$$ T = 2\pi/\sqrt{\beta\gamma} $$

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A.7 La constante de résonance k_

Unités : S (entropie) : J·K⁻¹ ln C : sans dimension Ainsi k_ a les unités J·K⁻¹, analogue à la constante de Boltzmann. Les différents niveaux-$\mu$ ont des constantes mises à l'échelle :*

$$ k_^{(\mu)} = \kappa\,\lambda_{\mu}^d\,k_B $$

où $\lambda_\mu$ est l'échelle de corrélation, d la dimension effective, $\kappa$ un facteur de normalisation.

*La mesure empirique de k_ par domaine définit le "spectre fractal" de la cohérence.

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A.8 L'interprétation énergétique

Multipliez (1) par la température T :*

$$ TdS + Tk_\,d\ln C = 0 $$

*Alors $TdS = -dE_{coh}$, identifiant $E_{coh}=Tk_\ln C$ comme énergie de cohérence stockée.

Ainsi la loi de réciprocité est une conservation d'énergie entre chaleur et information structurée.
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A.9 La formulation de l'espace de phase

Définissez les coordonnées généralisées $x_i$ et les moments conjugués $p_i$. Entropie $S(x,p)$, cohérence $C(x,p)$. Forme Hamiltonienne :
$$ \frac{dC}{dt} = \frac{\partial H}{\partial S}, \qquad \frac{dS}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial C} $$
Choisir $H = k_S\ln C$ reproduit $dS + k_\,d\ln C = 0$. Par conséquent, la loi de réciprocité est le générateur Hamiltonien de la dynamique FRC.
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A.10 Résumé

| Symbole | Signification | Équation | | : | : | : | | S | entropie | mesure du désordre | | C | cohérence | mesure de la corrélation | | α | gain adaptatif | réactivité du système | | R, Ψ | réceptivité et potentiel | paramètres ARF | | k_ | constante de cohérence | facteur d'échelle reliant énergie et information |

Ensemble, ils forment une algèbre fermée sous le groupe de transformation préservant $\Sigma = S + k_ \ln C$.**

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