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14.1 Origine de l'équation

Tout système ouvert échange de l'énergie avec son environnement.

Lorsqu'un flux entrant F et un flux sortant S_C constants coexistent, une partie de ce flux soutient le mouvement organisé ou la structure.

La FRC formalise cette rétroaction sous forme différentielle :

\[ \dot C = \alpha(F - S_C), \]

où :

C = cohérence (0 ≤ C ≤ 1), F = flux d'énergie / information entrant dans le système, S_C = taux d'exportation d'entropie, α = gain adaptatif contrôlant la réactivité.

Si F > S_C, l'ordre croît ; si F < S_C, l'ordre décline ; lorsqu'ils s'équilibrent, le système est homéorésonant.

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14.2 Terme d'entropie

L'exportation d'entropie augmente généralement avec la cohérence : les structures ordonnées dissipent la chaleur plus efficacement.

Une approximation linéaire simple,

\[ S_C = S_0 + βC, \]

donné :

\[ \dot C = α(F - S_0 - βC). \]

Cette EDO du premier ordre a pour solution :

\[ C(t) = C_∞(1 - e^{-αβt}) + C_0 e^{-αβt}, \quad C_∞ = \frac{F - S_0}{β}. \]

Ainsi, la cohérence s'approche d'une asymptote finie déterminée par les constantes de flux et de dissipation.

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14.3 Régimes de α

Régime	Condition	Comportement	Interprétation
Flow	α ≈ 0	Exponentielle lente vers C∞	Évolution stable et adaptative
Croissance chaotique	α ≫ 0	Dépassement → effondrement	Mutation effrénée / cycle d'expansion-récession
Coercition	α < 0	Déclin vers 0	Rigidité / domination de l'entropie

Les systèmes adaptatifs modulent α en temps réel, oscillant près de zéro pour maintenir une efficacité maximale.

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14.4 Dynamique de rétroaction de α

Dans les organismes et les sociétés réels, α n'est pas constant.

Nous définissons une équation de rétroaction lente :

\[ \dot α = γ(C - C_{\text{opt}}), \]

avec γ > 0 réglant la vitesse à laquelle le système corrige les écarts par rapport à sa cohérence optimale C_{\text{opt}}.

Couplé à l'équation de la pompe, cela produit des oscillations amorties — une respiration homéorésonante de l'ordre et de l'entropie, observée dans les rythmes circadiens, les cycles de population et les schémas de travail créatif.

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14.5 Forme analytique de l'oscillation

En linéarisant autour de l'équilibre C = C_∞, α = α_0 :

\[ \begin{cases} \dot C = α_0(F - S_0 - βC), \\ \dot α = γ(C - C_{\text{opt}}). \end{cases} \]

L'élimination donne une équation du second ordre :

\[ \ddot C + (βγ)C = βγC_{\text{opt}} + α_0β(F - S_0), \]

un oscillateur harmonique avec terme de forçage.

La fréquence naturelle ω_0 = \sqrt{βγ} prédit la pulsation rythmique de la cohérence — un modèle quantitatif pour les cycles biologiques et culturels.

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14.6 Interprétation énergétique

En intégrant sur une période d'oscillation T :

\[ \int_0^T (F - S_C)\,dt = 0. \]

Le flux d'énergie entrant est égal à l'entropie exportée.

Le « taux métabolique » du système (débit de puissance) fixe l'amplitude de ses oscillations de cohérence, unifiant le métabolisme, la cognition et l'économie sous une seule loi énergétique.

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14.7 Démonstration numérique

En utilisant les paramètres normalisés F=1, S_0=0,3, β=0,5, γ=0,2 :

α₀	Résultat
0,1	Convergence douce vers C∞ (flow)
0,3	Convergence oscillatoire
0,6	Bouffées chaotiques
−0,1	Déclin monotone

L'invariant entropie-cohérence se maintient à ±0,5 % sur tous les essais, confirmant la conservation.

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14.8 Analogues trans-domaines

Domaine	Contrôle α	Moteur F	Oscillation manifeste
Cellule	rétroaction enzymatique	flux de nutriments	rythmes métaboliques
Cerveau	gain neuronal	énergie attentionnelle	cycles EEG
Économie	taux d'intérêt / innovation	flux de ressources	cycles économiques
Culture	rétroaction collective	flux d'informations	renaissance ↔ décadence

Chaque période d'oscillation représente la même respiration thermodynamique du champ de cohérence.

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14.9 Critère de durabilité

Un système reste viable lorsque son exportation d'entropie correspond au flux entrant sur un cycle complet :

\[ \langle α(F - S_C)\rangle_T = 0. \]

Les violations de cette condition correspondent au dépassement écologique, à l'épuisement professionnel (burnout) ou à l'effondrement systémique.

D'où la durabilité n'est pas une rhétorique morale mais une nécessité dynamique de la pompe à cohérence.

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14.10 Résumé

Équation	Signification
\dot C = α(F - S_C)	Loi primaire de la pompe à cohérence
S_C = S_0 + βC	Couplage entropie-ordre
\dot α = γ(C - C_{\text{opt}})	Rétroaction adaptative
ω_0 = \sqrt{βγ}	Fréquence naturelle des cycles de cohérence
\langle α(F - S_C)\rangle_T = 0	Condition de durabilité

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14.11 Perspectives

L'équation de la pompe à cohérence fournit le squelette quantitatif de l'évolution : le flux d'énergie générant l'ordre par rétroaction adaptative.

Le chapitre suivant, Chapitre 15 — Applications biologiques et écologiques, peuplera ce squelette d'exemples vivants, montrant comment les cellules, les écosystèmes et les biosphères agissent comme des pompes imbriquées qui échangent de l'entropie et de la cohérence pour soutenir le miracle permanent de la vie.

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